Question

已知函数Y=X^2-2ax+5 若函数在区间（-∞，2]是减函数，且对任意的x属于[1,a+1]总有-4≤Y≤4成立，

已知函数Y=X^2-2ax+5 若函数在区间（-∞，2]是减函数，且对任意的x属于[1,a+1]总有-4≤Y≤4成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

函数f(x)=x^2-2ax+5的对称轴为x=a。
若函数在区间（-∞,2]是减函数，则a>=2。a+1>=3。
f(x)在[1,a+1]上的最小值是f(a)=-a^2+5，最大值是f(1)-2a+6。
-4<=f(x)<=4，即f(a)=-a^2+5>=-4且f(1)=-2a+6<=4，1<=a<=3。
由前面的a>=2知，a的取值范围是[2,3]。

Answer 2

Y=（x-a）^2+5-a^2
最低点为x=a，函数在区间（-∞，2]是减函数,所以a≥2
把x=1，x=a+1带入原式
有 （a+1）^2-2a(a+1)+5≤4
1-2a+5≥-4
解出a≥3^1/2 a≤5
综上 2≤a≤5