Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x方+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧

，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，—3）。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得三角形QAC的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。
（3）在坐标轴上是否存在一点M，使得三角形MBC是等腰三角形，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由。
（4）在抛物线上是否存在一点N，使得三角形NBC是以BC为直角边的直角三角形，若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由。
（5）若点E在抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，B，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
（6）点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积。
（7）点Q是抛物线上的一点，三角形QBC的BC边上的高为4倍的根号2，求点Q的坐标。
（8）设圆Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动中是否存在圆Q与坐标轴相切的情况?若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由。并探究：若设圆Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则r取何值时，圆Q与两坐标轴同时相切。

Answer 1

（1）求这个二次函数的表达式。
解：c=-3,9+3b-3=0
b=-2
y=x^2-2x-3
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得三角形QAC的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。
解：对称轴方程：x=1,设D(,m)
y=0,x1=3,x2=-1 A(-1,0)
作点C关于x=1的对称点C1(2,-3),连结AC1与对称轴交于D，则此时三角形DAC的周长最小
AC1直线方程y=-x-1
x=1时，y=-2,
即D(1,-2)
（3）在坐标轴上是否存在一点M，使得三角形MBC是等腰三角形，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由。
｜BC｜=3√2
当以C点为圆心，以3√2为半径画圆可得：M1（0，-3-3√2），M2(-3,0)，M3(0,3√2-3)
当以B点为圆心，以3√2为半径画圆可得：M4（3+3√2,0），M5(-3√2+3,0),M6（0，3）
当作BC的中垂线经过原点O，也满足，M7(0,0)

（4）在抛物线上是否存在一点N，使得三角形NBC是以BC为直角边的直角三角形，若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由。
解设存在N（x,y)，则BC^2+CN^2=NB^2或BC^2+NB^2=CN^2
BC^2=18
CN^2=x^2+(x^2-2x)^2
NB^2=(x-3)^2+(x^2-2x-3)^2
因此有：18+x^2+(x^2-2x)^2=(x-3)^2+(x^2-2x-3)^2，解得x=1或x=0(舍去)
N(1,-4)
或有18+(x-3)^2+(x^2-2x-3)^2=x^2+(x^2-2x)^2，解得：x=-2或x=3(舍去）
N(-2,5)

（5）若点E在抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，B，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
EF//AB且EF=AB=4
设E(1,e),F(5，e)
e=25-10-3=12
F(5,12)
（6）点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积。
解：P点到BC距离最大时，面积最大
则过P点的直线且与BC平行时，与抛物线只有一个交点
设P(a,b),该直线方程：y=x-a+b代入y=x^2-2x-3中
x^2-3x+a-b-3=0
∆=9-4(a-b-3)=0
又b=a^2-2a-3
联解得：a=3/2,b=-15/4
即P（3/2，-15/4）
四边形ABPC的最大面积=1/2*1*3+1/2*（3/2+3）*15/4-1/2*（15/4-3）*3/2=9.375
（7）点Q是抛物线上的一点，三角形QBC的BC边上的高为4倍的根号2，求点Q的坐标。
解：设Q(m,n), BC直线方程为:y=x-3
根据点到直线距离公式
｜m-n-3｜=√(m^2+n^2)*4√2
又n=m^2-2m-3
联解得：
（8）设圆Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动中是否存在圆Q与坐标轴相切的情况?若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由。并探究：若设圆Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则r取何值时，圆Q与两坐标轴同时相切。
设Q(m,n),存在圆Q与坐标轴相切
则｜m｜=1，｜n｜=1
当m=1时，n=-4不成立
当m=-1时，n=0不成立
所以不存在
若半径为r
则m=r时，n=r=r^2-2r-3 或n=-r=r^2-2r-3
得r=(3+√21)/2 或(1+√13)/2
则m=-r时，n=r=r^2+2r-3 或n=-r=r^2+2r-3
得r=(√13-1)/2或(3+√21)/2
综上r=(3+√21)/2 ,或1+√13)/2或(√13-1)/2时，
圆Q与两坐标轴同时相切

希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

追问

谢谢，第5问我滴老师说有3个坐标

Answer 2

看得清楚不  第六问 直线不太清楚

Answer 3

解析式是y=x平方-2x-3