Question

急！急！已知函数f(x)=x^3，g(x)=x+根号x。

已知函数f(x)=x^3，g(x)=x+根号x。
1)求证函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，并说明理由。
2)设数列{an}(n属于N*)满足a1=a(a〉0，f(a(n+1))=g(an)，证明:存在常数M，使得对于任意的n属于N*，都有an〈=M

Answer 1

因为，[x+√(x²+1)][-x+√(x²+1)] = 1 ，即有：-x+√(x²+1) = 1/[x+√(x²+1)] ，
所以，lg[-x+√(x²+1)] = -lg[x+√(x²+1)] ；

令 g(x) = f(x)-2 = x³+lg[x+√(x²+1)] ，
则 g(-x) = (-x)³+lg{-x+√[(-x)²+1)]} = -x³+lg[-x+√(x²+1)] = -x³-lg[x+√(x²+1)] = -g(x) ，

已知，f(x) 在 (-∞,0) 上有最小值 -5 ，
可得：g(x) = f(x)-2 在 (-∞,0) 上有最小值 -5-2 = -7 ；
因为，g(x) 是奇函数，
所以，g(x) 在 (0,+∞) 上有最大值 7 ，
可得：f(x) = g(x)+2 在 (0,+∞) 上有最大值 7+2 = 9

Answer 2

1)变下形，看y=x^3-x与y=squart(x)的交点个数，没要你解，直接画图看，一个交点。那个三次分解下因式，有三个零点，0,1，-1，图像时回转一下。最后一看就是一个交点。
2)由递推关系，a(n+1)=(an+squart(an))^(1/3);用归纳法的思想，a(n+1)<=M;
得an^2-(2M^3+1)an+M^6>=0,
看判别式，怎么都解出一个M；这里只强调M的存在性，有就行了。

Answer 3

两个零点（实数）
h(t^2)=t(t^5-t-1)
H(t)=t^5-t-1,H'(t)=5t^4-1两个驻点都在x轴下
1到2之间仅有一零点
（2）a(n+1)=三次根(a(n)+根a(n))
使M充分大，a(k)<M,k=1,......n,且满足M+根M<M^3,得
a(n+1)<M,a(n+2)<M,等等

Answer 4

第一题