Question

lim（n→∞）(1/（n+1）+1/（n+2）+…+1/（n+n）)

求详细过程！

Answer 1

解：用定积分定义求极限
原式=lim(n->∞)[(1/n)/(1+1/n)+(1/n)/(1+2/n)+......+(1/n)/(1+(n-1)/n)+(1/n)/(1+n/n)]
=lim(n->∞){(1/n)[1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+......+1/(1+(n-1)/n)+1/(1+n/n)]}
=∫<0,1>dx/(1+x) (根据定积分定义得)
=ln(1+x)│<0,1>
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2。

Answer 2

用微积分定义做；lim（n→∞）1/n[(1/（1+1/n）+1/（1+2/n）+…+1/（1+n/n）)]
=1/1+x在[0,1]上的积分

追问

微积分定义？呃，怎么得出“1/1+x在[0,1]上的积分”的？能不能说详细点？谢谢啦！

追答

1/1+x在[0,1]上的积分=ln(1+x)[1,o]=ln2-ln1=ln2
算式不好写啊。。

Answer 3

是这样吗

追问

分子都是1，那个极限符号下面是n→∞。

追答

这个。。。

Answer 4

接楼上，ln(1+x)I1,0 得ln2

Answer 5

在(0,+∞)上，函数y=1/x是单调减函数。现将y=1/x右移一个单位，得到函数y=1/(x-1)。
对于矩形ABCD：A(n+k,0)、B(n+k,1/(n+k))、C(n+k+1,1/(n+k))、D(n+k+1,0)，显然B在y=1/x上，C在y=1/(x-1)上。令k=1,2,3...n，形成顺序相接的矩形，其锯齿部分严格在y=1/x和y=1/(x-1)之间。于是：
S1(n+1,n+n+1)<∑1/(n+k)<S2(n+1,n+n+1)
S1(n+1,2n+1)<∑1/(n+k)<S2(n+1,2n+1)
其中S1(a,b)表示区间(a,b)上y=1/x与X轴之间的面积，S2(a,b)表示区间(a,b)上y=1/(x-1)与X轴之间的面积。
∫1/xdx |(a,b)=ln(b/a)
∫1/(x-1)dx |(a,b)=ln[(b-1)/(a-1)]
代入a=n+1，b=2n+1，得：
ln[(2n+1)/(n+1)]<∑1/(n+k)<ln2
ln[1+n/(n+1)]<∑1/(n+k)<ln2
当n→+∞，lim ln[1+n/(n+1)]=ln2，lim ln2=ln2
根据夹逼定理，lim ∑1/(n+k)=ln2