Question

动态圆解决磁场问题

Answer 1

浅谈半圆法处理粒子源在磁场中运动问题
　　　　　　　　　
在匀强磁场中粒子源问题一直是个难点，对于解决此类问题障碍往往是由于不能准确确定运动的轨迹，找不准半径与给定长度之间的几何关系。而解决此类问题时，画轨迹这一关是大多数学生最大的障碍。下面结合粒子源在不同边界磁场中不同位置问题的解决，来体会利用半圆法找寻粒子源轨迹。

例1、如图所示，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．在原点O有一个粒子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速率都为v．对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大y= ____，最大x=____．
解析：设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式： 得：
让粒子向x轴正向发射，并作出半圆Ⅰ，然后让粒子发射的方向逆时针转动，同时半圆也就同方向改变，结合题意画出半圆Ⅱ。
由图可得：
例2、如图所示，在真空中坐标 平面的 区域内，有磁感强 的匀强磁场，方向与 平面垂直，在 轴上的 点，有一放射源，在 平面内向各个方向发射速率 的带正电的粒子，粒子的质量为 ，电量为 ，求带电粒子能打到 轴上的范围．
解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式： ，则 ．
让粒子向x轴负向发射，并作出半圆Ⅰ，然后让粒子发射的方向逆时针转动，同时半圆也就同方向改变，结合题意画出半圆Ⅱ。如图所示，带电粒子的半圆Ⅰ轨迹正好与 轴下方相切于B点时，B点为粒子能打到 轴下方的最低点，得： ．
带电粒子的半圆Ⅱ打到 轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点为粒子能打到 轴上方的最高点．因 ， ，则 ．
综上，带电粒子能打到 轴上的范围为： ．
例3、如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤ 范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
（1）速度的大小； （2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦.
解析：设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得　Bqv=m ①
由①式得　　 ②
让粒子向y轴正向发射，并作出半圆，然后让粒子发射的方向顺时针转动，同时半圆也就同方向改变，当a/2＜R＜a时,在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的半圆Ⅰ，半圆与磁场的上边界相切于D点，右边界相交于A点。
设该粒子在磁场运动的时间为t,依题意t=T/4，得 ∠OCA= ③
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为θ，由几何关系可得
Rsinθ=R－ ④ Rsinθ+Rcosθ= a ⑤
又　sin2θ+cos2θ=1 ⑥
由④⑤⑥式得　　 R= ⑦
由②⑦式得　　v= ⑧
由④⑦式得　　sinθ= ⑨
例4、半径为 的匀强磁场区域边界跟 轴相切于坐标原点O，磁感强度 ，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为 的粒子．已知 粒子质量 ，电量 ，求出 粒子通过磁场空间的最大偏角．
解析：设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得

让粒子向y轴负向发射，并作出半圆，然后让粒子发射的方向逆时针转动，同时半圆也就同方向改变，由于速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径 一定的条件下，为使 粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即 粒子应从磁场圆直径的A端射出．结合题意画出半圆Ⅰ，由几何关系得： ，即 粒子穿过磁场空间的最大偏转角为
总之粒子源在磁场中运动问题，我认为首先让粒子向一特殊方向发射，并作出半圆，然后让粒子的方向改变，同时半圆也就同方向改变，结合题意画出我们要解决问题的半圆，最后由几何关系解决此类问题。