Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 AB+CDGH的值．

Answer 1

解：（1）∵EF是△OAB的中位线，

∴EF∥AB，EF= 1/2AB，

而CD∥AB，CD= 1/2AB，

∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，

∴△FOE≌△DOC；

（2）∵在Rt△ABC中，AC=根号AB²+BC²= 根号4BC²+BC²= 根号5BC，

∴sin∠OEF=sin∠CAB= BC/AC= 1/根号5= 根号5/5；

（3）∵AE=OE=OC，EF∥CD，

∴△AEG∽△ACD，

∴ EG/CD= AE/AC= 1/3，即EG= 1/3CD，

同理FH= 1/3CD，

∴ （AB+CD）/GH= （2CD+CD）/（CD/3+CD+CD/3）= 9/5．

Answer 2

（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=1 2 AB，
而CD∥AB，CD=1 2 AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2 = 4BC2+BC2 = 5 BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB=BC AC =1 5 = 5 5 ；

（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴EG CD =AE AC =1 3 ，即EG=1 3 CD，
同理FH=1 3 CD，
∴AB+CD GH =2CD+CD CD 3 +CD+CD 3 =9 5 ．