Question

求二重积分∫∫siny/y， 其中D是由y=x，x=0，y=π /2，y=π 所围城的区域.

这是网上搜到的答案，可是看得不懂。

∫[π /2，π]∫[0,y]siny/ydxdy
=∫[π /2，π]x[0,y]siny/ydy
=∫[π /2，π]sinydy //这步队dy的积分为什么就把分母y消掉了？分布积分法吗？求详细说明，可加分！！！
=-cosy[π /2，π]
=1

Answer 1

1. x 的 积分区间 [0, y]
2. y 的 积分区间 [π /2，π]
3. ∫[π /2，π]∫[0,y]siny/ydxdy
=∫[π /2，π]x[0,y]siny/ydy
=∫[π /2，π]sinydy 对siny从π /2积分到π，而siny的原函数是-cony，所以
=-cosy(π) - (-cos（π /2）)
= 1

Answer 2

解：原式=∫<π/2,π>(siny/y)dy∫<0,y>dx
=∫<π/2,π>(siny/y)[x│<0,y>]dy
=∫<π/2,π>(siny/y)(y-0)dy
=∫<π/2,π>sinydy
=(-cosx)│<π/2,π>
=-cosπ+cos(π/2)
=1