Question

高等数学关于函数问题求助

如图，选哪个呢？

Answer 1

答案是C
lim [xf''(x)]/(1-cosx) = lim [xf''(x)]/[(1/2)x^2]= 2limf''(x)/x=1
x->0 x->0 x->0

可得 limf''(x)/x=1/2>0 可知limf''(x)=0 又因为f''(x)连续，所以f''(0)=0
x->0 x->0

由极限的保号性，存在δ>0,使得f''(x)在（-δ，0）上小于0,在（0，δ）上大于0
即在0点两侧，f''(x)变号，所以（0，f(0))是拐点。

Answer 2

不学高数很多年……我觉得选C吧
极限表达式的值要为1，而分母上是(x^2)/2这样的一个二阶无穷小量，那么f''(x)在x=0的邻域内应该是x/2这样的一个一阶无穷小量，题目上f(x)说在x=0的邻域内存在连续的二阶导数，那么有f''(x)=0。
在x<0的左半邻域，有f''(x)<0;x>0的右半邻域内f''(x)>0，所以x=0处是个拐点

Answer 3

答案C
对limx/1-cosx求极限，由洛比达法则可知当x趋于零其趋近于正无穷，故必有f‘’(x)=0，同时，当x趋于零负，其值为负，有f‘’（x）＜0，当x趋于零正，其值为正，有f‘’（x）＞0，知其不可能为极值点。

Answer 4

c。分母化为2（sin0.5x）^2,由sinx是x的等价无穷小量（当x→0），则可知1-cosx=2（sin0.5x）^2是0.25x^2的等价无穷小量，又由题目所给的极限式可知，xf''（x）是1-cosx的等价无穷小量（当x→0），于是f''（x）是0.25x的等价无穷小量，即x充分接近0时可以用0.25x替代f''（x）。于是由x=0时，0.25x=0知道f''（0）=0；由0.25x在0的左右两侧异号知f（0）是拐点。

Answer 5

选A

追问

能简单说说为什么吗？

追答

因为当x趋向于0时，1-cosx趋向于零，也就是无穷小量，而那个极限等于1，也就是说分子上那个算式也是无穷小量，如果f两撇x当x=0时等于0的话，那么分子上那个式子就等于0了，当x趋向于零时，f（x）=x是无穷小量，常数与无穷小量的乘积为一阶无穷小。所以f两撇0不等于0。而f撇0=0，只能说明f（x）在0处是拐点，前后的增减性不确定，所以不能判断是极大值还是极小值。

Answer 6

好像是 C 吧。

追问

为什么呢？

追答

拐点的二阶应当是0，所以 A 可以排除了
如果 f''(0) 不等于0，不妨令 f''(0)=C（C是不为0的常数）， 代入极限，应用一次洛比达法则，极限结果是无穷大，而不是 1 ，这与已知条件矛盾。所以 f''(0)必须是0，这样只在B,C里面选了，显然，二阶为0是拐点，这是正确的。那就选 C了。
（一阶为0，只能说是一个驻点，二阶为0是拐点。如果一阶为0，二阶不为0，则是极值，二阶大于是时，是极小值；二阶小于0时，是极大值。）

追问

如果一阶为0 二阶也为0
能得出什么结论？

追答

一阶为0，二阶为0，只能说是驻点，是拐点，是不是极点还不知道，还要结合实际情况判断。
如：
y=x^3, 其一阶，二阶在 x=0 点都是0，但它不是极点，因为一阶后为 y‘=3x^2，0点左右斜率都为正，所以不是极值点；
又如 y=x^4，其一阶、二阶在 x=0 点也都是0，但它却是极小值点，因为一阶后 y'=4x^3，0点左边斜率为负，右边斜率为正，所以是极小值点。