Question

求函数f(x)=│x-2│e^x在闭区间［0，3］上的最大值与最小值

此题中，解题解到最后时有个结论是x=2是它的不可导点，请问是怎么解出来的？

Answer 1

当x=2时,f(x)的左右导数不同,所以f(x)在x=2时,不可导.
这个地方是开始就要考虑的.
这很明显是一个分段函数.
f(x)=(x-2)exp(x),x∈[2,3],f(x)=(2-x)exp(x),x∈[0,2]
很明显的两侧导数不相等.

一般来说,带绝对值的大部分都是分段函数,分段函数一定要考虑分段点处函数左右导数的问题.

Answer 2

f(x)在(0,3]上可导，f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x。
在(0,1)上，f'(x)<0，f(x)单调递增；在(1,3)上，f'(x)>0，f(x)单调递减。
f(1)=e，f(0)=2，f(3)=e^3。
所以，函数f(x)=│x-2│e^x在闭区间［0，3］上的最大值是e^3，最小值是2。

追问

你漏了一个重要的点是当x=2时，f(2)=0,这个才是最小值。我现在考虑的是，这个x=2到底在解题的哪一步才需要考虑进去的呢。

追答

f(x)=│x-2│e^x在x=2处不可导，在x=0处可导。
分成[0,2)和(2,3]，
在[0,2)上，f(x)=(2-x)e^x，f'(x)=-e^x+(2-x)e^x=(1-x)e^x。
在(2,3]上，f(x)=(x-2)e^x，f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x>0。
f(0)=2，f(1)=e，f(2)=0，f(3)=e^3。
最大值是f(3)=e^3，最小值是f(2)=0。

Answer 3

加了绝对值函数f<0的部分会被翻折上去造成曲率不连续

追问

妈呀，你怎么那么会画图啊，考试遇到这种题不会画图怎么办