Question

设直线L与椭圆C：x^2/3+y^2=1交于AB两点，坐标原点O到直线L的距离为√3/2，求三角形AOB面积的最大

Answer 1

设直线L方程为y=kx+c，所以-y+kx+c=0,
因为o（0，0）到L的距离为：c/√1+k^2=√3/2,c^2/1+k^2=3/4.
将直线带入椭圆方程得：（1/3+k^2)x^2+2kcx+c^2-1=0,
于是：x1+x2=-6kc/1+3k^2,x1*x2=-3(c^2-1)/1+3k^2.
又AB^2=(K^2+1)(x1-x2)^2=(K^2+1)[(x1+x2)^2-4x1*x2]=(36k^2-12c^2+12)/(1+3k^2)^2,
带入c^2/1+k^2=3/4，化简成关于k的关系式得：AB^2=3+4/（1/k+3k)^2<=10/3,
所以|AB|<=√30/3
所以S△AOBmax=1/2*√30/3*√3/2=√10/4

Answer 2

解析：（1）当k不存在时，联解x=√3/2 和2x2+3y2=6可得y=√6/2,故|AB|=√6
(2)当k存在时，设AB:y=kx+b，原点到直线AB的距离=√3/2可得b2=3/4(1+k^2)
联解2x2+3y2=6可得（3k2+2）x2+6kbx+3b2-6=0,
∆=6(9k2+5)，故|AB|=√(1+k^2 ) √∆/(3k^2+2)=√(6(1+k^2 )(9k2+5))/(3k^2+2)
令t=3k^2+2≥2,则k^2=(t-2)/3,故|AB|=√2 √(（-1/t^2 +2/t+3）)
令m=1/t∈(0,1/2],则|AB|=√2 √(（-m^2+2m+3）)≤√34/2
由于√34/2>√6，所以综合（1）（2）可得|AB|≤√34/2,故S≤√102/8

Answer 3

请看图，满意回答是错的！