Question

复数问题求解，急求大神指点！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！1

已知复系数多项式f(z)=a0+a1*z+a2*z^2+.....+an*z^n,且只要|z|<=1就有|f(z)|<=1，证明：
(1) |aj|<=1,(j=0,1,2....,n);
(2) |a0+a1+a2+.....+an-(n+1)aj|<=n,(j=0,1,2....,n).
第一问做出来了，求第二问怎么做？要详细过程。

Answer 1

标记一下，等大神。
我虽然不会，但是我说点我的想法
f(z)=a
f(z)=a+bz
f(z)=a+bz+cz^2
f(z)=a+bz+cz^2+dz^3
。。。
有点像太阳系运行的方法，如果我们假定z的模长不变，只改变幅角。
a是太阳的位置，
|bz|表示太阳地球的距离
|cz^2|表示月球地球的距离
|dz^3|表示人造绕月卫星到月球球心的距离
。。。。
而且你发现地球绕太阳一圈的时间，月球饶太阳2圈，人造卫星绕月3圈。。。

|z|<=1就有|f(z)|<=1
表明无论这个复杂的系统怎么运行，最后一颗星到太阳的距离，都不会大于1。

我们不妨认为|z|=1的情况，这样所有的距离都是固定的。

|a0+a1+a2+.....+an-(n+1)aj|<=n

a0+a1+a2+.....+an只是复杂太阳系钟表运行的一种可能位置。
事实上我猜测，对于任何模为1的复数w，都存在一个模为1的复数p使得
|f(w)-p(n+1)aj|<=n

(n+1)aj只是把其中一段，例如a2是地球到月球的距离，乘了(n+1)

追问

额。。。。
虽然对任意W都有这样一个P，这是肯定的。
但你不能保证W=1时，P=1。

追答

我好像可以做，至少n=2是这样的：w＝cos120'+isin120'
已知复系数多项式f(z)=a+bz+cz^2, 且只要|z|<=1就有|f(z)|<=1，
f(1)=a+b+c
f(w)=a+bw+cw^2
f(ww)=a+bww+cw
f(1)+f(w)+f(ww)=3a

所以
|a+b+c-3a|<=2
就是
|f(1)-(f(1)+f(w)+f(ww))|<=2
就是
|f(w)+f(ww)|<=2

f(1)=a+b+c
wwf(w)=aww+b+cw
wf(ww)=aw+b+cww
所以
|a+b+c-3b|<=2
就是
|f(1)-(f(1)+wwf(w)+wf(ww))|<=2
就是
|wwf(w)+wf(ww)|<=2

f(1)=a+b+c
wf(w)=aw+bww+c
wwf(ww)=aww+bw+c
所以
|a+b+c-3c|<=2
就是
|f(1)-(f(1)+wf(w)+wwf(ww))|<=2
就是
|wf(w)+wwf(ww)|<=2

Answer 2

我暂时没证完，我猜想是用z^n=1的n个n次方根
正好构造n个f(z)然后线性加权

Answer 3

|a+b|<=|a|+|b|

追问

就用这个做不出来