Question

计算∫L（x^2+3y）dx+（y^2-x）dy 其中L为上半圆周y=√（4x-x^2）从O（0，0）到A（4，0）

Answer 1

积分曲线为圆心在(2,0)，半径为2的上半圆周，补充曲线L‘：y=0上从(4,0)到(0,0)的一段，这样L+L’构成了闭曲线，可以用格林公式计算。设P=x^2+3y，Q=y^2-x，则Q‘x=-1，P'y=3，注意我们现在取的闭曲线L+L'为负方向，故积分I+I'=-∫∫(Q'x-P'y)dxdy=4∫∫dxdy，而∫∫dxdy就等于积分区域的面积=2π，故沿L+L'的积分=8π,。再计算沿L’的积分，此时y=0（因此dy也=0），故积分I'=∫x^2dx（积分限4到0）=-64/3，所以原积分I=8π+64/3。