Question

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是斜边BC的中点,点E,F分别在AB,AC上，

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是斜边BC的中点,点E,F分别在AB,AC上，且DE⊥DF，若BE=5，CF=12，求△DEF的面积

Answer 1

解：连接AD。设ED=x
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠EBD=∠FCD=45°。
∵∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=BD=CD=1/2BC，
∵AB=AC，D为BC中点。∴AD⊥BC且AD平分∠BAC。∴∠ADB=∠ADC=90°。∠FAD=∠EAD=45°，∴∠EBD=∠FAD，∠FCD=∠EAD。
∵DE⊥DF。∴∠EDF=90°。
∵∠EDB+∠EDA=∠ADB=90°，∠FDA+∠EDA=∠EDF=90°。∴∠EDB=∠FDA。
在△EDB和△FDA中，∠EBD=∠FAD，BD=AD，∠EDB=∠FDA。∴△EDB≌△FDA（ASA）
∴BE=AF=5，ED=FD。
∵∠EDA+∠ADF=∠EDF=90°，∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°。∴∠EDA=∠FDC
在△EDA和△FDC中，∠EAD=∠FCD，AD=CD，∠EDA=∠FDC。。∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF=12。
在RT△EAF中，∠BAC=90°，EF²=AE²+AF²=12²+5²=169，EF=13。
在RT△EDF中，∠EDF=90°，EF²ED²+FD²=2x²=169，解得x=13√2/2.。
∴S△EDF=13√2/2*13√2/2/2=169/4

Answer 2

连接AD，因为∠EDB+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，所以∠EDB=∠ADF，
又∠DAF=∠B=45°，AD=DB，所以△EDB≌△FDA。则AF=5，AE=12，ED=DF。
所以△EDF是等边直角三角形，因为EF=√(5**2+12**2)=13，所以ED=13/√2
因此△DEF的面积=1/2DE*DF=1/2*13/√2*13/√2=169/4