Question

已知X＞0，Y＞0，且1/X+9/Y＝1，求X+Y的最小值

x+y＞=2√xy 当x=y时= 成立，令x=y ,1/x+9/x=1,x=y=10. 所以x+y=20 哪里不对？

Answer 1

答：
利用基本不等式或者对勾函数的时候，没有其它前提条件的
但现在多了前提条件1/x+9/y=1，就不能这样做了。
1/x+9/y=1
解得：y=9x/(x-1)>0
因为：x>0
所以：x-1>0
x+y
=x+9x/(x-1)
=x+9(x-1+1)/(x-1)
=x+9+9/(x-1)
=(x-1)+9/(x-1)+10
>=2√[(x-1)*9/(x-1)]+10
=2*3+10
=16
当且仅当x-1=9/(x-1)即x-1=3，x=4，y=12时取得最小值16

追问

若4＝x^2 加y^2-xy 求xy的最小值。为什么这个题可以用基本不等式？

追答

解题的方法很多，它符合基本不等式特征就可以用。它没有其它限定条件就可以直接用基本不等式

追问

它的限定条件不是4＝x^2加y^2-xy 吗

追答

4=x^2+y^2-xy>=2xy-xy=xy
xy<=4
当且仅当x=y=2时xy取得最大值

这里没有限定x和y的相互关系，在这个等式里面x和y的地位是平等的

Answer 2

基本不等式
(x+y)(1/x+1/y)=x/y+y/x+2>=4
当且仅当X=Y时等式成立,(x+y)(1/x+1/y)的最小值为4
所以(x+y)(1/x+1/y）=9(x+y)，x+y的最小值为4/9

Answer 3

(x+y)*(1\x+1\y)=1+x\y+y\x+1=2+x\y+y\x
因为x>0,y>0。由均值不等式
所以2+x\y+y\x≥2+（2乘以根号下y\x乘以x\y）=8
所以原式大于等于8，取最小值8