Question

一道高阶导数的题目，求解！

设f(X)=arcsinx,求x=0处的n阶导数

Answer 1

f(X)=arcsinx把它展开为麦克劳林级数
则次方为n的系数乘以n！为所求
看好久了你都没有用我的
我就补充一下吧：
f'=1/sqrt(1-x^2)
又(1-x)^a=1-ax+..+(-1)^n*a*(a-1)*..*(a-n+1)/n!*x^n+....
相当于这里a＝-1/2
用x^2换x
f’＝...+(-1)^n*a*(a-1)*..*(a-n+1)/n!*x^2n+....
积分
f＝...+(-1)^n*a*(a-1)*..*(a-n+1)/(2n*n!)*x^(2n+1)+....
将n改为k
f＝...+(-1)^k*a*(a-1)*..*(a-k+1)/(2k*k!)*x^(2k+1)+....
由上述可得n次方的系数为：
当n=2k+1时为p＝(-1)^k*a*(a-1)*..*(a-k+1)/(2k*k!)，所求就为n！*p
当n＝2k，即时偶数时，很明显为0

Answer 2

求一次导数y'＝1/√（1-x^2)
即y'*√（1-x^2)=1
左边用莱布尼兹公式展开求(n-1)阶导数
y（n)+(n-1)[-x/√（1-x^2)]+...=0
y(n)表示n阶导数

由于u=√（1-x^2）得1～n阶导数x=0出等于0，原因是含有x^r因子。这样左边从第二项起在x=0处均为0
所以y(n)=0，n>=2
宗上所述：
当n＝1时，y(n)=1
当n>=2时，y(n)=0

Answer 3

因为f(X)=arcsinx
所以f'(X)=1/√(1-x^2)
所以f"(X)=x/(1-x^2)^(3/2)
f"'(X)=(2x^2+1)/(1-x^2)^(5/2)
f""(X)=(6x^3+9x)/(1-x^2)^(7/2)
所以由上可知：
当n为偶数时
f^n(0)=0
当n为奇数时
f^n(0)=1