Question

设函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>0时，

设函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>1时，f(x)＞0
①求f(1的值)
②判断f(x)在(0，∞)上的单调性 ，并证明

Answer 1

条件有点问题：应该是x>0时，f(x)>0，另外，f(1)的值是求不出的，只能求f(0)。
在f(x+y)=f(x)+f(y)中，
令x=y=0，得
f(0)=f(0)+f(0)，从而 f(0)=0
再令 y=-x，得
f(0)=f(x)+f(-x)
从而 f(x)+f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)
所以 f(x)是奇函数。
②设 x1<x2，则x2-x1>0，从而f(x2-x1)>0
由于f(x2)-f(x1)
=f(x2)+f(-x1)
=f(x2-x1)>0
所以 f(x1)<f(x2)
从而 f(x)在R上是增函数，当然，在(0，+∞)上也是。

Answer 2

令X=0
F(0+Y)=F(0)+F(Y)
F(0)=0
令Y=N
F(X+N)=F(X)+F(N)
F(N+N)=F(N)+F(N))
F(2N)=2F(N)
F(NX)=NF(X)
F(N)=NF(1)
F(X)是线性函数
又当x>1时，f(x)＞0
是单调递增