Question

设m*n矩阵A的秩为r。证明：A可以表示成r个秩为1的矩阵之和。

Answer 1

因为R(A)=r，所以可以用一系列的行初等变换把A化为行阶梯形B，即存在可逆阵P，使PA=B；
B中只有r行含非零元素，B可以写成r个矩阵的和
B=C1+C2+…+Cr，其中Ck（1≤k≤r）的第k行是B中的第k行，其余元素都是0，易知R(Ck)=1；
从而有PA=C1+C2+…+Cr，两边左乘P^<-1>，得到
A=P^<-1>C1+P^<-1>C2+…+P^<-1>Cr
这里P^<-1>Ck的秩为1（矩阵经初等变换，秩不变）（k=1，2，…，r）。