Question

已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx(a属于R)，若f(x)>0有解，求a的取值范围。

Answer 1

函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx(a属于R)，若f(x)>0有解，说明函数的最大值大于0
f‘（x）=（2a-1）x+1/x
当2a-1>=0时，f’（x）>0在（0，正无穷）上恒成立
f（x）在（0，正无穷）上单调递增
fmax=f（正无穷）>0
当2a-1<0时，令f‘（x）=（2a-1）x+1/x>0
得到0<x<√(1/1-2a)
因此f（x）在（0，√(1/1-2a)）上递增，在（√(1/1-2a)，正无穷）上递减
fmax=f（√(1/1-2a)）=-1/2-1/2ln（1-2a）>0
得到1-2a<1/e
得到（1-1/e）/2<a<1/2
综合得到a>（1-1/e）/2

Answer 2

f(x)的定义域为x>0
f'(x)=(2a-1)x+1/x=[(2a-1)x²+1]/x
当(2a-1)>=0时,即a>=1/2时，有f'(x)>0,函数单调增，f(1)=a-1/2>=0,因此a>=1/2符合题意；
当(2a-1)<0时，即a<1/2时，f(x)有极大值点x=1/√(1-2a)，则须有f(1/√(1-2a))=-1/2-1/2*ln(1-2a)>0,得(1-2a)<1/e, a>(1-1/e)/2, 即(1-1/e)/2<a<1/2也符合题意
综合得a的取值为：a>(1-1/e)/2