Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对应的边分别为A,B,C.设向量m=(c-2a,b)n=(cosB,cosC)

且满足 m向量 与n向量垂直(1)求sinA+sinC的最大值

Answer 1

向量m与向量n垂直
∴mn=0
(c-2a)cosB+bcosC=0
正弦定理得
(sinC-2sinA)cosB+sinBcosC=0
sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB
sin(C+B)=2sinAcosB
ABC是内角
∴sin(C+B)=sinA
∴2cosB=1
cosB=1/2
B=π/3
0<A<2π/3
sinA+sinC

=sinA+sin(2π/3-A)
=sinA+√3/2*cosA-(-1/2)sinA
=3/2*sinA+√3/2*cosA
=√3(√3/2*sinA+1/2*cosA)
=√3sin(A+π/6)
∵0<A<2π/3
π/6<A+π/6<5π/6
∴sin(A+π/6)最大值=1
∴√3sin(A+π/6)最大值=√3
sinA+sinC的最大值=√3

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