Question

如图,在圆O中,直径AB=4,点E是OA中任一点,过E作弦CD垂直AB,点F是弧BC一点，链接AF交CE与点H，

1)求证△ACH相似于△AFC
(2)猜想AH×AF与AE×AB的数量关系并证明猜想。
(3)探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4？并加以说明

Answer 1

解：
（1）
∵OA过圆心且CD⊥AB
∴弧AC=弧AD
∴∠F=∠ACD
又∵∠CAF=∠CAF
∴△ACH∽△AFC
（2）
连接BC
∵AD为直径
∴∠ACB=90°
又∵CE⊥AB
∴AE×AB=AC²
∵△ACH∽△AFC
∴AC/AH=AF/AC
∴AC²=AH×AF
∴AH×AF=AE×AB
（3）
S△AEC=1/2AE×CE
S△ODE=1/2OE×OD
S△OBD=1/2BO×DE
∴S△AEC：S△BOD=AE:BO=1:4
∴当AE=1/8AB时
S△AEC：S△BOD=1：4