Question

（2011•凉山州）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三

构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1．

Answer 1

解：（1）（a+b)的五次方=a的五次方+5a的四次方b+10a的三次方b的二次方+10a的二次方b的三次方+5ab的四次方+b的五次方
解：（2）原式=2的五次方+5×2的四次方×（-1）+10×2的三次方×（-1）的二次方+10×2的二次方×（-1）的三次方+5×2×（-1）的四次方+ （-1）的五次方
=（2-1）的五次方
=1
刚好这个星期我们有这道题...

Answer 2

分析：由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1．
（2）将25-5×24+10×23-10×22+5×2-1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．解答：解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

（2）原式=25+5×24×（-1）+10×23×（-1）2+10×22×（-1）3+5×2×（-1）4+（-1）5
=（2-1）5
=1
把握规律其实很简单。。。

Answer 3

( 1 )（a+b）^2=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
( 2 ) 原式=2^5+5*2^4*（-1）+10*2^3*（-1）^2+10*2^2*（-1）^3+5*2*（-1）^4+（-1）^5=（2-1）^5=1

Answer 4

解：（1）（a+b)的五次方=a的五次方+5a的四次方b+10a的三次方b的二次方+10a的二次方b的三次方+5ab的四次方+b的五次方
解：（2）原式=2的五次方+5×2的四次方×（-1）+10×2的三次方×（-1）的二次方+10×2的二次方×（-1）的三次方+5×2×（-1）的四次方+ （-1）的五次方
=（2-1）的五次方
=1