Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM． （1）观察并猜想AP

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．
（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA=PB=PC，则△PMC是等边
等边
三角形；
（3）若PA：PB：PC=1：根号2：根号3，试判断△PMC的形状，并说明理由

Answer 1

解：（1）AP=CM．
∵△ABC、△BPM都是等边三角形，
∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．
∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．
∴∠ABP=∠CBM．
∴△ABP≌△CBM．
∴AP=CM．

（2）等边三角形．

（3）△PMC是直角三角形．
∵AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：2：3，
∴CM：PM：PC=1：2：3．
设CM=k，则PM=2k，PC=3k，
∴CM2+PM2=PC2
∴△PMC是直角三角形，∠PMC=90°．

Answer 2

（1）AP=CM这个是证明△ABP与△CBM全等得来的（边角边：AB=BC、角ABP=角CBM、BP=BM）
（2）PC=AP=CM MP=PB 所以PC=MP=CM △PMC是等边三角形

（3）△PMC的形状是直角三角形。设AP=X 则CM=AP=X，MP=PB=（根号2 ）X PC==（根号3 ）X △PMC中CM的平方+PM的平方=CP的平方 ，满足勾股定理。

Answer 3

因为AB等于BC，BP等于BM，角ABP等于角CBM所以全等。

Answer 4

图