Question

直角梯形的一个内角为四十五度，下底长为上底长的二分之三，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体

直角梯形的一个底角为45°下底长为上底长的3/2，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为（5+根号2)π,求旋转体的体积

Answer 1

这个几何体的面积是圆柱中一个圆+一个长方形+一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径。设上底为x，则下底为3/2x，直角腰为1/2x，另一腰为根号2*x/2，整个面积式子为π*x^2/4+πx^2+根号2*πx^2/4=（5+根号2)π.
解得x=±2，因为x＞0，所以x=-2舍去，x=2。
而这个几何体的体积是是一个圆锥+一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积=Sh=πr^2h=π*1^2*2=2π，圆锥体积=1/3Sh=1/3 πr^2h=1/3π1^2*1=1/3π.
所以整个几何体的体积为7/3π

Answer 2

设上底为a=x，则下底为b=3/2x，高为h=1/2x，斜线L=√2/2x
S=π*h²+2πh*a+π*h*L
=π(x/2)²+2π*x/2*x+π*x/2*√2/2x
=（5+√2）/4*πx²=（5+√2）π
x=2
v=π*h²*a+1/3*π*h²*h
=（2+1/3）π