Question

问几道微积分的练习题，算了半天都没弄明白，求高手解答

1. 请问高手，刚刚学的微积分，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理，这是后面的习题，完全没有思路啊，能否提示一下，或者简要的说明一下步骤，当然能够写出证明是最好的，谢谢！

2. 第二张图片可能会用到无穷小量的替换，但是替换之后分子、分母都为0了，如果进行一次柯西定理之后再替换，也是约不掉x(=0)这一项，写了两篇草纸也没有算出来，而且越算越麻烦。求指导！
希望可以大神可以写清楚步骤，菜鸟高数刚入门，有些看不懂啊。
弄懂了60分送上。

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Answer 1

8.只要求出f(x)=2√x+1/x -3的最小值大于0 f`(x)=1/√x-1/x^2 则当0<x<1 f`(x)<0 x>1 f`(x)>0
所以x=1是最小值 f(x)>f(1)=0 即证结论
2，这题用等价替换和泰勒公式
当x-->0 (1+ax)^b-1~abx 则(1+tanx)^1/2-1~1/2 tanx tanx=x+x^3/3+o(x^3) sinx=x-x^3/3+o(x^3)
又ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)

追问

谢谢大神，第一题我明白你的意思，就是01时，f'>0，为单调递增，所以x=0处为函数的最低点。但是这是罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西定理章节后的习题，不能用他们来解这道题吗？

第二题也是，我们还没学泰勒公式，这个是罗比达法则后的习题，能不能有别的方法？另外第二题的步骤有些不懂，后面没有了吗？

追答

1. 这些中值定理的使用都是有条件的啊，题目中都没有这些条件。在这这些中值定理都是等式的关系以及函数和导数的关系，这也和题目无关。

2. (1+tanx)^1/2-1~tanx/2    (1+sinx)^1/2-1~sinx/2  这个是无穷小等价替换
   这个不用泰勒展开还真不太容易做啊
   ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)这步是泰勒展开 

   那么分子就化为tanx-sinx/2   分母就化为-x^3/2

   原式就=lim(x-->0)sinx-tanx/x^3这时候可以用洛比达了

   或者用泰勒展开 tanx=x+x^3/3+o(x^3)  sinx=x-x^3/3+o(x^3)

   直接用洛比达太麻烦了，不把人求哭了才怪

追问

谢谢啦，第一题是根据用导数判断函数单调性来解决的。第二题目前泰勒公式还没看，但回答的很详细很明确，剩下的就得我自己研究一下泰勒公式。

Answer 2

g(x)=2sqrt(x)-3+1/x,
g'(x)=1/sqrt(x)-1/x^2,
当x>1时，g'(x)>0, g(x)单调增，
g(x)>g(1)=0
当x<1时，g'(x)<0, g(x)单调减，
g(x)>g(1)=0，证毕。

第二题
分子：1. 有理化；2.提tan; 3. 等价无穷小；
分母：1. 提x; 2. 对ln(1+x)使用泰勒展式