Question

如图,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P ,交BC的延长线上于点D,AB2=AP×AD。 1.求证AB=AC 2.

2.如果角ABC=60°，圆O的半径为1，切P为弧AC的中点，求AD的长。

Answer 1

（1）证明：

如图、连接BP

因为：AB×AB=AP×AD 

所以：AB/AP=AD/AB

在△ABP和△ADB中

∠PAB=∠BAD（公共角）

AB/AP=AD/AB

∴△ABP∽△ADB【两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似】

∴∠APB=∠ABC

又∵∠APB=∠ACB【同弧所对圆周角相等】

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC（2）

∵∠ABC=60°

∴△ABC是等边三角形【有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形】

又∵P是弧AC中点

∴∠CBP=∠ABP=30°【同弧所对圆周角相等】∠APB=60°

∴∠BAP=90°

∴AP是○O直径

∴BP=2AP=1【30°所对的直角边=斜边的一半】AB=√3【勾股定理】∵AB×AB=AP×AD

∴√3×√3＝1×ADAD=3

Answer 2

由题意
AB/AP=AP/AB
所以三角形ABD相似于三角形APB
所以∠ABD=∠APB
弧AB所对的角为∠APB和∠ABC
所以∠APB=∠ACB
∴∠ABD=∠ACB

AB=AC

∠APB和∠ABC对同弦AC

∴∠APC=180-∠ABC=60°
AP=1
你会算的
然后代入到AB2=AP×AD

Answer 3

1、证明：连接BP
∵AB²＝AP×AD
∴AB/AP＝AD/AB
∵∠BAP＝∠DAB
∴△BAP相似于△DAB
∴∠BPA＝∠ABD
∵∠BPA、∠BCA所对应圆弧都为弧AB
∴∠BCA＝∠BPA
∴∠BCA＝∠DBA
∴AB＝AC
2、
∵P为弧AC的中点
∴弧AP＝弧CP
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC/2
∵∠ABC＝60
∴∠ACB＝∠ABC＝60
∴等边△ABC
∴BP为圆O直径
∵圆O的半径为1
∴BP＝2
∵A为圆上一点
∴∠BAP＝90
∵∠ABP＝∠ABC/2＝60/2＝30
∴AB＝BP×cos30=2×√3/2=√3
∴BD=AB/ cos∠ABC=√3/(1/2)=2√3