Question

抛物线y=-x^2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是__?

Answer 1

4x+3y-8=0
y=-4/3x+8/3，斜率k=-4/3
y=-x^2
y‘ = -2x
当切线与直线平行，即切线斜率k=-4/3时，切点距离直线距离最短
y'=-2x=-4/3
x=2/3
y=-x^2=-4/9
该点坐标（2/3，-4/9)
该点到4x+3y-8=0距离 = |4*2/3+3*(-4/9)-8|/√(4^2+3^2) = 4/3
距离的最小值是4/3

追问

y‘ = -2x
这是什么啊。

追答

对y=-x^2求导数，就是y‘ = -2x
然后将对应点的横坐标代入，可求出该点切线的斜率

Answer 2

设直线 4x+3y-c=0，则与4x+3y-8=0平行
改变C的值平行移动直线，当直线与抛物线y=-x^2想切时，切点即为到直线4x+3y-8=0距离的最小点
3y = c-4x = -3*x^2 , 3*x^2 - 4x + c =0只有一个根，判别式为0， 16-12c = 0，c = 4/3
则所设直线4x+3y-4/3=0，与原直线4x+3y-8=0间的距离 ，即为最小距离。
利用c，算出切点求距离也行
这种做法不用求导，容易理解

Answer 3

4x+3y-8=0的斜率是-4/3。
y'=-2x=-4/3，x=2/3，y=-9/2。
所求点坐标为(2/3,-4/9)。

Answer 4

解：设抛物线y=-x的平方上一点为（m，-m的平方），
该点到直线4x+3y-8=0的距离为 5分之（4m-3m的平方-8）的绝对值，
分析可得，当m= 3分之2时，取得最小值为 3分之4，

Answer 5

设抛物线y=-x^2上一点为（m,-m^2),
该点到直线4x+3y-8=0的距离为(|4m-3m^2-8|)/5
当m=2/3时，取得最小值4/3