Question

如图，BC是圆O的直径，P是圆O上的点，A是弧BP的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、A

如图，BC是圆O的直径，P是圆O上的点，A是弧BP的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于E、F
（1）试说明AE=BE
（2）当P在弧BC运动时（P不与B、C两点重合），试说明在什么情况下AE=EF，并证明

Answer 1

证明：(1)连AB,AP,PC.
∵A是弧BP的中点∴弧AB=弧AP
∴∠ACB=∠ABP(等弧所对圆周角相等)
又∵BC是圆O的直径，

∴∠BAC=90°
AD⊥BC于D，
∴∠BAD=∠ACB(同为∠ABC的余角)
∴∠ABP=∠BAD
∴AE=EB
(2)当P点使弧PC=弧AB时，AF=EF.
证明：当P点使弧PC=弧AB时，ABCP是等腰梯形，
∴∠ABC=∠PCB
∠ABC=∠CAD(同为∠ACD的余角)
∠AEF=∠BED
∠BED=∠PCB(同为∠PBC的余角)
∴∠CAD=∠AEF
∴AF=EF