Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)经过点A(2,1),离心率为√2/2。（1）求椭圆方程；

（2）过点(3,0)的直线l与椭圆交于M,N两点,设直线AM和AN的斜率分别为KAM,KAN,求证：KAM+KAN为定值

Answer 1

解：1）由已知得 4/a^2+1/b^2=1 且 c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1/2，
所以解得 a^2=6，b^2=3，
因此，椭圆方程为 x^2/6+y^2/3=1 。

追问

关键是第二问？谢谢。。。

Answer 2

⑴∵e=a/c=√2/2,
∴b=c=√2/2a,即a^2=2b^2=2c^2,
∴椭圆方程可化为x^2/2b^2+y^2/b^2=1,
将点A坐标（2,1）代入，得：
4/2b^2+1/b^2=1,即3/b^2=1,∴b^2=3,∴a^2=2b^2=6
∴椭圆方程为x^2/6+y^2/3=1
⑵方法是设而不求，即设M、N坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2)
再设出直线l的方程（斜率为k），与椭圆方程联立，再代入，即可求出！
sorry啊，过程有点难打上来，所以就教一下方法，sorry！

Answer 3

1 4/a²+1/b²=1,a²=b²+c²,c/a=√2/2.，
a=6， b=3．
x²/6+y²/3=1．
2 设ly=k（x-3），
y=k(x-3),x²/6+y²/3=1
（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．
设M，N为（x1，y1），（x2，y2），
x1+x2=12k²/1+2k²， x1x2=18k²-6/1+2k²，
y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）．
kAM+kAN= y1-1/x1-2+y2-1/x2-2
= (kx1-3k-1)(x2-2)+(kx2-3k-1)(x1-2)/(x1-2)(x2-2)= 2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4/x1x2-2(x1+x2)+4
= 2k(18k²-6)-(5k+1)•12k²+(12k+4)(1+2k²)/18k²-6-24k²+4(1+2k²)= -4k²+4/2k²-2=-2．
kAM+kAN为定值-2．