Question

已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,点A(-2√3,0)是其左顶点,点C在椭圆上（Y轴的上方），

且向量AC·向量CO＝0,|AC|=|CO|。若平行于CO的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程。
详细过程！谢谢各位了，越快越好。。。

Answer 1

1、由向量AC和CO垂直，且|AC|=|CO|，可知三角形ACO是等腰直角三角形，点C恰是AO的中点，由A的坐标极容易知C的坐标是(-√3,√3)，代入椭圆方程，可算出该椭圆方程是X^2/12+Y^2/4=1。
2、由直线l与CO平行，可以设l的方程为Y=-X+S，S就是l在x轴上的截距，由于CO过原点，我们只需要考虑S>0这一半就够了。
3、此时点C与直线l的距离d用S表示，就是d=S/√2。
4、计算直线与椭圆相交的弦长。将直线方程Y=-X+S代入椭圆方程X^2/12+Y^2/4=1，得到4X^2-6SX+3S^2-12=0。此时可设两交点M、N的x轴坐标分别是x1、x2，则弦长L=√2|x1-x2|。
L^2=2(x1-x2)^2=2(x1+x2)^2-8x1x2，然后联系上面椭圆方程的根与系数关系，可知x1+x2=(3/2)S，x1*x2=(3S^2-12)/4，代入得
L^2=24-(3/2)S^2
三角形的面积s为
s=(1/2)*d*L，为计算方便，可以乘方，即
s^2=(1/4)*(S^2/2)*[24-(3/2)S^2]，简化一下就是
s^2=(3/16)*S^2(16-S^2)
想要s最大，就是要S^2=16-S^2，可得S=2√2，
那么最大面积就是s=2√3，此时l的方程就是Y=-X+2√2。

追问

为什么s只能大于0？平行小于0也行啊，我觉得应该是两条直线。S=±2√2
其他的讲的很清楚 谢谢

追答

我只是说考虑S>0这一半就够了，不代表另一半不是啊，计算上是一样的，只是变个号而已。