Question

拓扑学怎么才能入门呢?这门数学课程很难学啊!

高中毕业后只自学了一点微积分知识，关于拓扑学也就知道一点大概（“哥尼斯堡七桥问题”和“一笔画问题”以及“集合论悖论”的大致情况）；一开始的点集拓扑中的集合论与高中的集合概念有什么关系呢？

Answer 1

世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。

什么是拓扑学？

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。

其它数学分支学科

算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学

Answer 2

吴文俊是少数几位有国际声誉和重大影响的中国数学家之一，不过在国内，他似乎一直默默无闻。2001年2月，国内首届“国家科学技术奖”颁发给吴文俊和袁隆平时，袁隆平和他的杂交水稻早已名满天下，而记者在争相报导吴文俊时，却发现原始材料少得可怜。其实，吴文俊获大奖，这已经不是第一次，而是第八次了。国际、国内的大奖只是向公众和媒体传达了一个信息，吴文俊的工作很重要，但是，判断吴文俊的工作有多重要，还是要看行家的评判。吴文俊获得第一个大奖是1956年中国颁发的首届国家自然科学奖一等奖。当时获一等奖的只有三人，华罗庚、钱学森、吴文俊。华、钱的大名在当时已经屡屡见诸报端，他们获奖的确在意料之中，可是吴文俊的名字有多少人知道呢？而且他获奖的工作“示性类和示嵌点的研究”对于大多数数学家来说，至今也还是说不清道不明，更不用说一般平民百姓了。吴文俊在国内虽然名气不大，但在当时国际数学界，尤其是领头人物当中，却非常知名。美国著名数学家、国际数学联盟第一届主席斯通 (M.stone,1903-1989)在1961年的文章中讲到新中国的数学时，写下这样一段话：虽然从整体上讲，中国人的贡献在数学界影响不是很大，但“少数大陆中国人被公认为天才而有成就的数学家，他们最近的贡献被高度评价。做为例子可以举出，吴文俊引进的新拓扑不变量，以及华罗庚对许多复变函数论的研究。[9]真是英雄所见略同，恰巧是斯通举的两位在五年前获得数学方面两个一等奖。
当然，不管大奖小奖都会有给的不合适的地方，诺贝尔奖也有几位是有问题的。但是，历史是无情的，科学上只有那些推动历史前进的贡献才是顶尖的、站得住脚的。达到这种水平的贡献也必然受到大科学家的关注。从1954年到1970年，每届都有拓扑学家获得菲尔兹奖，而获奖的大数学家道姆(R.Thom)、米尔诺(J.Milmor)阿蒂亚(M.Atiyah)、斯梅尔(S.Smale)等人都在他们的主要论文中引用过吴文俊的工作。获得首届沃尔夫奖的盖尔范得(I.Gelfand)在1956年吴去苏联时，就主动关注吴的工作，其他东欧国家也都知道吴工作的份量。说到底，吴文俊拓扑学的工作在当时已经毫不含糊地是国际领先的，而不是我们现在常常讲的要在几年内赶超国际水平。吴文俊这方面的工作已成世界数学宝库中的经典，他1950年的论文到2001年还有人在引用！
如果说，拓扑学说到底是西方人的独创，吴文俊只是大大发展它，那么吴文俊的数学机械化则是完全他从研究中国数学史而产生的思想，是中国人自己的独创，它走上一条与西方迥然不同的道路。这条道路显示出吴文俊特立独行的风格，它成果累累，也得到许多客观的西方数学家的承认，正因为如此，吴文俊荣获了厄布朗(J.Herbrand)奖，而这个奖本来是奖给数理逻辑方面的杰出研究的。
一、坎坷的数学之路
吴文俊走上数学之路并不是一帆风顺的。幸运的是，他受到家庭有益的影响。吴出生在一个知识分子家庭，父亲吴福同出生在19世纪末，当时正逢甲午战败，各界人士都积极思考如何救亡图存、振兴中国的问题。百日维新虽然失败，西学东渐之势已势不可挡，上海处于门户开放之地，得风气之先，新学堂纷纷上马。交通大学的前身——南洋公学就是在1896年成立的，一开始还没有小学部、中学部，吴文俊的父亲就是在这里接受新式教育，特别是打下英语的基础，当时上海是科学的中心，也是出版业的集中之地，吴福同从高中毕业以后，就在一家医药书籍出版社从事编译工作，而且，有时还兼报刊的编辑工作。在当时，这种职业要求有较高的工作能力和业务水平，有时要比老板挣的还多。正是由于吴文俊的父亲有稳定的工作和收入。尽管不太富裕，但生活总是有保障，衣食无缺。吴先生回忆起来说，他受到父亲很大的影响。正是由于生活有基本保障，他才能在家庭的支持下去搞一些自己感兴趣的东西，则不必为生活担忧。他的父亲也鼓励他努力学习，积极进取。家庭条件也对他起着潜移默化的作用。父亲的大量藏书使他从小就养成阅读的习惯，小学时，已经读过许多历史和文学作品，在小学的时候，已经喜欢看《儒林外史》和《官场现形记》，这对他不喜欢“学而优则仕”以及官场作风有一定影响。他也读过《胡适文存》之类的书，表明那时已经有一定的思想水平。

Answer 3

1 几何
1.1 几何原本
1.2 La Géométrie(几何学)
2 逻辑
2.1 概念文字(Begriffsschrift)
2.2 数学公式汇编(Formulario mathematico)
2.3 数学原理(Principia Mathematica)
2.4 哥德尔不完备定理
3 信息论
4 数论
4.1 算术研究(Disquisitiones Arithmeticae,或译整数论研考)
4.2 关于小于给定值的质数(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)
4.3 数论讲义(Vorlesungen über Zahlentheorie)
4.4 数论，从汉默拉比到勒让德的历史的方法(Number Theory, An approach through history from
Hammurapi to Legendre)
4.5 数论导引(An Introduction to the Theory of Numbers)
5 微积分
5.1 自然哲学的数学原理(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)
5.2 普通读者的牛顿原理(Newton's Principia for the Common Reader)
6 数值分析
6.1 流数法(Method of Fluxions)
7 博弈论
7.1 博弈的演变和理论(Evolution and the Theory of Games)
7.2 博弈和经济行为的理论(Theory of Games and Economic Behavior)
7.3 论数字和博弈(On Numbers and Games)
7.4 数学玩家的制胜之道(Winning Ways for your Mathematical Plays)
8 分形
8.1 英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度
9 早期手稿
9.1 兰德数学纸草书(Rhind Mathematical Papyrus)
9.2 九章算术
9.3 阿基米德重写本(Archimedes Palimpsest)
9.4 沙计算手册(The Sand Reckoner)
10 教科书
10.1 纯数学教程(Course of Pure Mathematics)
10.2 问题求解艺术(Art of Problem Solving)
10.3 原逻辑: 标准一阶逻辑的元理论入门
11 流行读物
11.1 《哥德尔、埃舍尔、巴赫》
11.2 数学世界
12 算术
12.1 算术:或者说，艺术的基础(Arithmetick: or, The Grounde of Arts)
12.2 校长的助手，实用和理论算术的综述
13 抽象代数
13.1 现代代数(Moderne Algebra)
14 线性代数
15 代数几何
15.1 代数凝聚层(Faisceaux Algébriques Cohérents)
15.2 代数几何和解析几何(Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique)
15.3 代数几何基础(Éléments de géométrie algébrique)
15.4 代数几何研讨会(Séminaire de géométrie algébrique)
15.5 代数几何
16 泛代数
17 群论
18 单群
19 拓扑
19.1 拓扑学
20 图论
21 范畴论
21.1 数学工作者的范畴(Categories for the Working Mathematician)
21.2 计算科学的范畴论(Category Theory for Computing Science)
22 序理论
23 三角学
24 微分几何
25 微分拓扑
25.1 微分观点看拓扑(Topology from the Differentiable Viewpoint)
26 代数拓扑
26.1 代数拓扑
27 分形几何
28 离散数学
29 组合论
30 集合论
30.1 简单集合论(Naive Set Theory)
30.2 基数和序数(Cardinal and Ordinal Numbers)
30.3 连续统假设的一致性(The Consistency of the Continuum Hypothesis)
30.4 集合论和连续统假设(Set Theory and the Continuum Hypothesis)
31 优化原理
31.1 新变分法(The New Variational Method)
31.2 线性规划分解原理(Decomposition Principle for Linear Programs)
31.3 网络流和一般匹配(Network Flows and General Matchings)
31.4 路径，树和花(Paths, trees and Flowers)
31.5 定理证明过程的复杂度(The complexity of theorem proving procedures)
31.6 组合问题中的可归约性(Reducibility among combinatorial problems)
31.7 单纯形算法有多好?(How good is the simplex algorithm?)
31.8 线性规划和多项式时间算法(Linear Programming and Polynomial time algorithms)
31.9 线性规划的新多项式时间算法(New polynomial-time algorithm for linear
programming)
31.10 凸规划的内点多项式算法(Interior Point Polynomial Algorithms in Convex
Programming)

Answer 4

我是学数学的，我也没学很懂！很抽象，都是抽象空间上的讨论！要学好可能要花些时间！

Answer 5

不用打110就可知道。