Question

求lim(根号下n+1)-(根号下n），n趋于无穷大的极限

要详细过程

Answer 1

lim(根号下n+1)-(根号下n），n趋于无穷大时的极限为0。

解：因为lim(x→∞)(√(n+1)-√n)

=lim(x→∞)((√(n+1)-√n)*(√(n+1)+√n))/(√(n+1)+√n)         （分子分母同乘）

=lim(x→∞)(n+1-n)/(√(n+1)+√n)

=lim(x→∞)1/(√(n+1)+√n)

=0

即lim(√(n+1)-√n)=0。

极限的重要公式

（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此当x趋于0时，sinx等价于x。

（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。

（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此当x趋于0时，e^x-1等价于x。

极限运算法则

令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）加减运算法则

lim(f(x)±g(x))=A±B

（2）乘数运算法则

lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a为已知的常数。

Answer 2

√(n+1) -√n
=[√(n+1) -√n] * [√(n+1) +√n] / [√(n+1) +√n]
=1 /[√(n+1) +√n]
那么显然在n趋于无穷大的时候，
分母[√(n+1) +√n]趋于无穷大，
所以
√(n+1) -√n
=1 /[√(n+1) +√n] 趋于0