Question

幂等矩阵

设A是n阶实对称幂等矩阵，即A²=A.
（1）证明：存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=diag（1,1，……，1,0，……，0）
（2）若A的秩为r，计算det（A-2I）.

Answer 1

（1）A是n阶实对称幂等矩阵，故A的特征值只能是0和1

故存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=diag（1,1，……，1,0，……，0）

（2）设特征值1是r重，0是n-r重，
则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1，n-r重特征值0-2=-2
所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)

追问

第一问只说明Q是可逆矩阵，对其为正交矩阵一点没有作出证明

追答

只要A是实对称矩阵，就一点存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=Q'AQ为对角矩阵。