Question

求一道二重积分求解的题目，谢谢啦

题目，如图

Answer 1

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,1>[r²+r²sinθcosθ(5r²sin²θ+4r²cos²θ)]rdr (应用极坐标变换)
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>[r³+sin(2θ)(4+sin²θ)r^5/2]dr (化简)
=∫<0,2π>{[r^4/4+sin(2θ)(4+sin²θ)r^6/12]│<0,1>}dθ
=∫<0,2π>[1/4+sin(2θ)(4+sin²θ)/12]dθ
=∫<0,2π>[1/4+sin(2θ)/3+sin³θcosθ/6]dθ
=[θ/4-2cos(2θ)+(sinθ)^4/24]│<0,2π>
=π/2-0+0
=π/2

Answer 2

因为奇函数在对称区域上积分，后两项直接为零
然后将二重积分化为在极坐标中计算，令x等于rcost,y等于rsint,
其中t为零到2π，r为零到一，非常容易算的
最终结果为二分之一π，下面的朋友计算太复杂了