Question

如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连接PB和PD得到△PBD △PBD的周长的最小值

求详细解析

Answer 1

此题能解

解：（如图）

⑴作BK⊥AC并延长到Q，使KQ=BK

⑵连接DQ交AC于P

⑶连接BP

则△BDP的周长最小

证明：据作图

Rt△PKQ≌Rt△PKB

∴PQ=PB

∴△PBD周长=BD＋PB＋PD

                       =BD＋（PQ＋PD）

                      =BD＋DQ

在AC上任取一点E，连BE，EQ，则EQ=BE

且有：EQ＋ED＞DQ（三角形两边之和大于第三边）

∴EQ＋ED＋BD＞DQ＋BD

∴BE＋ED＋BD＞（DP＋PQ）＋BD

    BE＋ED＋BD＞（DP＋BP）＋BD

即△BDE周长＞△PBD周长

这就是说，在AC上，P点位置是使连接B和D点所形成的三角形的周长为最小。

最小值=(BP＋PD)＋BD

           =DQ＋BD