Question

高数微分方程问题，求解，给跪了。

Answer 1

方法一 ：微分方程写作2xydx+(x^2-6y)dy=0，P=2xy，Q=x^2-6y，求偏导数，αP/αy=αQ/αx，所以方程是全微分方程。
由2xydx+(x^2-6y)dy=0得(2xydx+x^2dy)-6ydy=0，(yd(x^2)+x^2dy)-d(3y^2)=0，d(x^2y)-d(3y^2)=0，d(x^2y-3y^2)=0，所以通解是x^2y-3y^2=C。

方法二：以y为自变量，方程变形为dx/dy+1/(2y)×x=2/x，方程是伯努利方程，n=-1。
方程改写为x×dx/dy+1/(2y)×x^2=3，1/2×d(x^2)/dy+1/(2y)×x^2=3。
令z=x^2，则方程化为：1/2×dz/dy+z/(2y)=3，dz/dy+z/y=6。
套用一阶线性微分方程的通解公式(过程略)，得z=1/y×(3y^2+C)。
代入z=x^2，得原微分方程的通解是x^2y=3y^2+C。