Question

已知定义在(-∞,0)U(0,+∞)上的奇函数f(x)满足f(2)=0，且在(-∞,0)上是增函数

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞,0）上是增函数．又函数g(θ)＝-cos^2θ+mcosθ−3m+1(其中0≤θ≤π/2)
（1）若函数g(θ)的最大值是4，求m的值
（2）若记集合M={m|恒有g（θ）>0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

答：

奇函数f(x)定义域x≠0，f(-x)=-f(x)
f(2)=-f(-2)=0
x<0时f(x)是增函数
则x>0时f(x)也是增函数
1)
g(θ)=-cos²θ+mcosθ-3m+1
=-(cosθ-m/2)²+m²/4-3m+1
因为：0<=θ<=θ/2
所以：0<=cosθ<=1
当对称轴t=cosθ=m/2<=0即m<=0时：cosθ=0时取得最大值
g(θ)=-0+0-3m+1=1-3m=4
解得：m=-1（符合）
当对称轴0<=t=cosθ=m/2<=1即0<=m<=2时：
最大值m²/4-3m+1=4
m²-12m-12=0
解得：m=6-4√3（m=6+4√3>2不符合）
当对称轴t=cosθ=m/2>=1即m>=2时：cosθ=1时取得最大值
g(θ)=-1+m-3m+1=4
解得：m=-2，不符合
综上所述，m=-1或者m=6-4√3

（2）若记集合M={m|恒有g（θ）>0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

f [g(θ)]<0，则g(θ)<-2或者0<g(θ)<2

M∩N即是0<g(θ)<2
g(θ)=-cos²θ+mcosθ-3m+1>0恒成立
(3-cosθ)m<1-cos²θ=sin²θ
当θ=0时：2m<0，m<0
g(θ)=-cos²θ+mcosθ-3m+1<2恒成立
(3-cosθ)m>-(cos²θ+1)
m>(cos²θ+1)/(cosθ-3)
当cosθ=0时(cos²θ+1)/(cosθ-3)取得最大值-1/3
所以：m>-1/3
综上所述，-1/3<m<0

追问

意思就是只看g(θ)就好了，f(x)那些别看……
函数g(θ)＝-cos^2θ+mcosθ−3m+1(其中0≤θ≤π/2)
（1）若函数g(θ)的最大值是4，求m的值
（2）若记集合M={m|恒有g（θ）>0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．