Question

如图， 已知抛物线Y=ax²+bx+c与X轴交于点A（-1，0）B（3，0），与Y轴交于点C（0，

如图， 已知抛物线Y=ax²+bx+c与X轴交于点A（-1，0）B（3，0），与Y轴交于点C（0，-3） （1）求抛物线的解析式，并且求出其顶点坐标。 （2）在抛物线的对称轴上是否有一点M，使得MA+MC的值最小？若存在，请求出M点的坐标。若不存在，请说明理由。 （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P。使得以P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）将A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）的坐标值分别代入抛物线y=ax²+bx+c得，
0=a－b+c （1）
0=9a+3b+c （2）
－3=c （3）
a－b=3 （4）
9a+3b=3 （5）
3（4）+（5）得，12a=12，a=1，代入（4）解得，b=－2
抛物线的解析式是：y=x²－2x－3
（3－|－1|）/2=1，∴抛物线的对称轴是：x=1，
将x=1代入抛物线y=x²－2x－3得，y=1－2－3=－4，
∴抛物线的顶点坐标是（1，－4）。
（2）点M位于AC的中垂线与对称轴x=1的交点上时有min（MA+MC），
AC的中点为G（－0.5，－1.5），
AC的斜率k=－3，∴GM的斜率k1=－1/k=1/3，
按点斜式GM的直线方程是：y+1.5=（1/3）（x+1/2）
y=（1/3）x－4/3，与x=1联立得，y=1/3－4/3=－1，
∴M的坐标是M（1，－1）。
min（MA+MC）=2√5。
（3）点P重合于M，P的坐标是P（1，－1），PA=PC=√5，
△PAC为等腰△，