Question

高三数学不等式

答案8求解答

Answer 1

因为 x+y+1/x+9/y=10
所以 (x+y)(x+y+1/x+9/y)=10(x+y)
(x+y)²+(x+y)/x +9(x+y)/y=10(x+y)
(x+y)²+y/x+9x/y +10=10(x+y) （1）
因为 y/x +9x/y≥2√[(y/x)(9x/y)]=6，（当且仅当 y=3x 时 取等号）
所以 （1）式化为
(x+y)²+6 +10≤10(x+y)
即 (x+y)²-10(x+y)+16≤0
解得 2≤x+y≤8，
所以 当x=2，y=3x=6时，x+y的最大值为8

Answer 2

因为 x+y+1/x+9/y=10

所以x+y=10-(1/x+9/y)
所以(1/x+9/y)最小时，x+y最大
(1/x+9/y)≥6/√xy当且仅当1/x=3/y时取等号
所以y=3x代入x+y+1/x+9/y=10得x=2、1/2，y=6、3/2

舍弃x=1/2
(1/x+9/y)最小为2
x+y最大为8