已知a+b+c=1,求证:a²+b²+c²≥1/3
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a+b+c=1
(a+b+c)²=1
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ac
所以可得:
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac
所以有:3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
即:a²+b²+c²≥1/3
(a+b+c)²=1
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ac
所以可得:
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac
所以有:3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
即:a²+b²+c²≥1/3
追问
3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
这一步怎么来的啊??而不是3(a²+b²+c²)≥3ab+3bc+3ac
追答
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac 在这个不等式左右两边同时加一个:a²+b²+c² 可得:
3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
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