Question

已知a＋b＋c＝1，求证：a²＋b²＋c²≥1／3

Answer 1

a＋b＋c＝1
(a+b+c)²=1
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ac
所以可得：
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac
所以有：3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
即：a²＋b²＋c²≥1／3

追问

3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
这一步怎么来的啊？？而不是3(a²+b²+c²)≥3ab+3bc+3ac

追答

2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac 在这个不等式左右两边同时加一个：a²+b²+c²　可得：
3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1

Answer 2

因为 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0
所以 a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≥
所以 a²+b²+c²≥ab+bc+ac
根据此结论：
1=（a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²）
a²＋b²＋c²≥1／3