Question

线性代数，证明，求高手！！！！

A为n阶方阵，A^2-2A-3E＝0.证（1）R（A＋E）＋R（A-3E）＝n；（2） 矩阵A可对角化

Answer 1

证明: (1) 因为 A^2-2A-3E=0
所以 (A+E)(A-3E)=0
所以 R(A+E)+R(A-3E)<=n
又 n=r(E)=r(4E)=r[(A+E)-(A-3E)]<= R(A+E)+R(A-3E)
所以 R(A+E)+R(A-3E)=n

(2) 设a是A的特征值
则a^2-2a-3 是 A^2-2A-3E 的特征值
再由已知 A^2-2A-3E=0, 而零矩阵的特征值只能是0
所以 a^2-2a-3 = 0
所以 (a+1)(a-3E)=0
所以 a=-1 或 3.
即 A 的特征值只能是-1或3.

(A+E)X=0 的基础解系含 n-r(A+E) 个解向量
(A-3E)X=0 的基础解系含 n-r(A-3E) 个解向量
由(1), A有
n-r(A+E)+n-r(A-3E)=n
个线性无关的特征向量, 分别属于特征值-1,3.
所以 A 可对角化.

Answer 2

首先你要知道一个结论：如果A的极小多项式没有重根，那么A可对角化。这个结论可以用Jordan标准型或者有理标准型来证明。
A^2-2A-3E=(A-3E)(A+E)=0 说明 A 的极小多项式一定是 (A-3E)(A+E) 的因子，因此没有重根。
至于第一问，只要把A对角化之后就显然了。

Answer 3

A^2-2A-3E=0
(A-3E)(A+E)=0
A=3E or A=-E
可见：det A ≠ 0
即：R(A) = n

Answer 4

证明：（1）由于A^2-2A=E，∴A(A-2E)=3E，即|A|*|A-2E|=3，即|A|≠0∴r(A)=n,同时r(A-2E)=n又∵(A-3E)(A+E)=0∴r(A-3E)+r(A+E)<=n,而r(4A)=r(A)=r(3(A+E)+A-3E)=n<=r(A-3E)+r(A+E),故r(A+E)+r(A-3E)=n
(2)由Aα=λα，A^2α=λAα，(2A+3E)α=λ^2α，整理得（-λ^2+2λ+3）α=0，又α≠0，故λ=3或-1,又λ=3时，对应的特征值子空间的维数为齐次线性方程组（A-3E）x=0的基础解系个数=n-r(A-3E)=r(A+E)，同理矩阵A与λ=-1对应的有r(A-3E)个线性无关向量。故矩阵A有r(A+E)+r(A-3E)=n个线性无关的特征向量。
因而其能相似于对角矩阵diag(3,……3，-1……-1)。其中有r(E+A)个3，r(A-3E)个-1。