Question

28、已知抛物线y=x2+(2-m)x-2m(m≠2)与y轴的交点为A,

已知抛物线y＝x2＋（2－m）x－2m（m≠2）与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，C（B点在C点左边）

（1）
写出A，B，C三点的坐标；

（2）
设m＝a2－2a＋4试问是否存在实数a，使△ABC为Rt△？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；

（3）
设m＝a2－2a＋4，当∠BAC最大时，求实数a的值。

Answer 1

已知抛物线y＝x^2＋（2－m）x－2m（m≠2）与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，C（B点在C点左边）

（1） 写出A，B，C三点的坐标；
令x = 0, 由y＝x^2＋（2－m）x－2m（m≠2），有
y = -2m,
所以，
A的坐标为（0，-2m）

令y = 0,由y＝x^2＋（2－m）x－2m（m≠2），有
x^2 + (2-m)x -2m = 0,

(x+2)(x-m) = 0
得
x1 = -2, x2 = m

因，B点在C点左边。所以，
当 m < -2时, B,C的坐标分别为（m,0）和（-2,0）.
当 m > -2，但m≠2时，B,C的坐标分别为（-2,0）和（m,0）。

（2） 设m＝a2－2a＋4试问是否存在实数a，使△ABC为Rt△？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；

m＝a^2－2a＋4 = (a-1)^2 + 3 >= 3.
此时，由（1）的结论知，A的坐标为（0，-2m），B,C的坐标分别为（-2,0）和（m,0）。

AB^2 = 4m^2 + 4
BC^2 = (m+2)^2 = m^2 + 4m + 4
AC^2 = m^2 + 4m^2 = 5m^2

由m>=3知，
3m^2 = m*(3m)>=9m > 4m,
AB^2 = 4m^2 + 4 > m^2 + 4m + 4 = BC^2,
AB> BC.
m^2 >= 9 > 4,
AC^2 = 5m^2 > 4m^2 + 4 = AB^2,
AC > AB.
所以，
AC > AB > BC.
但
AB^2 + BC^2 = 5m^2 + 4m + 8 > 5m^2 = AC^2.
所以，
不存在实数a，使△ABC为Rt△。

（3） 设m＝a2－2a＋4，当∠BAC最大时，求实数a的值。
m＝a2－2a＋4 = （a-1）^2 + 3 >= 3.
由（2）的结论知，AC > AB > BC.
所以，∠BAC 最小。
因此，不存在实数a，能使得∠BAC最大。