Question

设AB是n阶矩阵，证明AB可逆当且仅当A和B都可逆

Answer 1

因为A,B均可逆，所以A,B的行列式均不等于零。

则：/AB/=/A//B/不等于零。故AB可逆。

假设A,B中至少有一个不可逆。不妨设A不可逆。

则：/A/=0则：/AB/=/A//B/=0则与AB可逆矛盾。

故：AB可逆当且仅当A,B均可逆。

扩展资料

性质1 行列互换，行列式不变。

性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）

性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

Answer 2

必要性，AB可逆所以AB的秩dur(AB)=n，又r(AB)<=min(r(A)，r(B))，故r(A)=r(B)=r(AB)=n，故A，B可逆。

充分性，A，B可逆,r(A)=r(B)=n，r(A)+r(B)-r(AB)<=n，故r(AB)>=n，于是r(AB)=n，AB可逆。

 |AB| = |A||B|

A可逆 |A|≠0

证：

AB都可逆

|A|≠0, |B|≠0

|A| |B|≠0

|AB|≠0

AB可逆

扩展资料;

（1）逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1 

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m 

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵 

推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积

参考资料来源：百度百科-逆矩阵

Answer 3

因为A,B均可逆，所以A,B的行列式均不等于零。则：/AB/=/A//B/不等于零。故AB可逆。 假设A,B中至少有一个不可逆。不妨设A不可逆。则：/A/=0则：/AB/=/A//B/=0则与AB可逆矛盾。故：AB可逆当且仅当A,B均可逆。

Answer 4

必要性，AB可逆所以AB的秩r(AB)=n,又r(AB)<=min(r(A),r(B)),故r(A)=r(B)=r(AB)=n,故A，B可逆
充分性，A，B可逆,r(A)=r(B)=n,r(A)+r(B)-r(AB)<=n,故r(AB)>=n，于是r(AB)=n，AB可逆

Answer 5

必要性，AB可逆所以AB的秩r(AB)=n,又r(AB)<=min(r(A),r(B)),故r(A)=r(B)=r(AB)=n,故A，B可逆
充分性，A，B可逆,r(A)=r(B)=n,r(A)+r(B)-r(AB)<=n,故r(AB)>=n，于是r(AB)=n，AB可逆