设AB是n阶矩阵,证明AB可逆当且仅当A和B都可逆
因为A,B均可逆,所以A,B的行列式均不等于零。
则:/AB/=/A//B/不等于零。故AB可逆。
假设A,B中至少有一个不可逆。不妨设A不可逆。
则:/A/=0则:/AB/=/A//B/=0则与AB可逆矛盾。
故:AB可逆当且仅当A,B均可逆。
扩展资料
性质1 行列互换,行列式不变。
性质2 把行列式中某一行(列)的所有元素都乘以一个数K,等于用数K乘以行列式。
性质3 如果行列式的某行(列)的各元素是两个元素之和,那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行(列)相同,那么行列式为零。(所谓两行(列)相同就是说两行(列)的对应元素都相等)
性质5 如果行列式中两行(列)成比例,那么行列式为零。
必要性,AB可逆所以AB的秩dur(AB)=n,又r(AB)<=min(r(A),r(B)),故r(A)=r(B)=r(AB)=n,故A,B可逆。
充分性,A,B可逆,r(A)=r(B)=n,r(A)+r(B)-r(AB)<=n,故r(AB)>=n,于是r(AB)=n,AB可逆。
|AB| = |A||B|
A可逆 |A|≠0
证:
AB都可逆
|A|≠0, |B|≠0
|A| |B|≠0
|AB|≠0
AB可逆
扩展资料;
(1)逆矩阵的唯一性
若矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的,并记作A的逆矩阵为A-1
(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m
对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵
(3)任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵
推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积
参考资料来源:百度百科-逆矩阵
推荐于2017-11-26
2013-12-02
充分性,A,B可逆,r(A)=r(B)=n,r(A)+r(B)-r(AB)<=n,故r(AB)>=n,于是r(AB)=n,AB可逆
充分性,A,B可逆,r(A)=r(B)=n,r(A)+r(B)-r(AB)<=n,故r(AB)>=n,于是r(AB)=n,AB可逆
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