Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D

（1）求证：AP=AC；
（2）若AC=3，求PC的长．

Answer 1

1）连接AD，OA
PA是切线，所以，OA垂直于PA
因为CD经过圆心，所以CD是直径
因此<BAC=90º(直径所对的圆周角是直角）
因为 <ADC=<B=60º(同弧上的圆周角相等）
所以，<ACP=30º
因为<AOD是圆心角，所以<AOD=2<ACP=60º
所以，在直角三角形OAP中，<P=30º
所以，<P=<ACP
那么 AP=AC
2）
因为AP是切线。所以，<DAP=<ACP=30º(同弧上的圆周角和弦切角相等）
所以，<DAP=<P
那么 AD=DP
设AD=a，那么 PC=3a
在直角三角形ACD中。由勾股定理得
AD²+AC²=CD²
即 a²+9=4a²
a²=3 a=√3
所以，PC=3√3

Answer 2

1）连接AD，OA
PA是切线，所以，OA垂直于PA
∵CD经过圆心，所以CD是直径
因此<BAC=90º(直径所对的圆周角是直角）
∵ <ADC=<B=60º(同弧上的圆周角相等）
∴，<ACP=30º
∵<AOD是圆心角，所以<AOD=2<ACP=60º
∴，在直角三角形OAP中，<P=30º
∴，<P=<ACP
那么 AP=AC

Answer 3

1）连接AD，OA
PA是切线，所以，OA垂直于PA
因为CD经过圆心，所以CD是直径
因此<BAC=90º(直径所对的圆周角是直角）
因为 <ADC=<B=60º(同弧上的圆周角相等）
所以，<ACP=30º
因为<AOD是圆心角，所以<AOD=2<ACP=60º
所以，在直角三角形OAP中，<P=30º
所以，<P=<ACP
那么 AP=AC
2）
因为AP是切线。所以，<DAP=<ACP=30º(同弧上的圆周角和弦切角相等）
所以，<DAP=<P
那么 AD=DP
设AD=a，那么 PC=3a
在直角三角形ACD中。由勾股定理得
AD²+AC²=CD²
即 a²+9=4a²
a²=3 a=√3
所以，PC=3√3