Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax2-2ax+4经过点A．
（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上；
（2）如图2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC-PD|的值最大时点P的坐标；
（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)把点A（4,0）代入抛物线的表达式可求得a=-1/2,所以y=-1/2x^2+x+4,由旋转可知点D坐标（-2，0），代入可知点D满足抛物线表达式，点D在抛物线上
（2)由抛物线解析式可求抛物线的对称轴为x=1,作点C（4,0）关于对称轴的对称点C‘，易求点C’的坐标（2,4），连结C‘D，则C‘D与对称轴的交点P即为所求的点，因为直线C'D过C'(2,4),D(-2,4),所以可以求出直线C'D的解析式，点P的横坐标可知等于1，代入直线C'D的解析式，就可以把点P的纵坐标求出来了，可求得点P的坐标是（1,3）
（3）设抛物线上存在点E（h,k)满足题意，有，CD^2+CE^2=DE^2 由勾股定理可得CD^2=20 由两点间的距离公式可求CE^2=h^2+(k-4)^2 ,DE^2=(h+2)^2+k^2,得到等式整理得：2k+h=8 而点E在抛物线上满足抛物线表达式 代入得到一个式子 和2k+h=8 联立解出k和h的值，就可以把点E求出，最后点E坐标为 （3,5/2)和（0,4）（和点C重合）