Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，角BAD=90°，

点P从A点出发向B点运动，点Q从B点出发向C点运动，且同时出发。已知AD=20，AB=10，BC=27.5 点P的速度为每秒1个单位长度，Q点的速度为每秒2个长度单位，当P点和Q点中任意一点到达其终点，两点停止运动。设运动时间为t。
（1）当t为何值时，△APD的面积与△DQC的面积相等
（2）当t为何值时，QC=DC
（3）求四边形PBQD的面积
（4）当t取何值时，三角形PQD的面积最小

Answer 1

解：（1）∵AQ=3-t
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM= NCMC= 45，CM= 5+5t4．
（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t
解得t=2．
（3）①当MP=MC时（如图）
则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t）
解得：t= 23
②当CM=CP时（如图）
则有：
54（1+t）=4-t
解得：t= 119
③当PM=PC时（如图）
在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2
而MN= 34NC= 34（1+t），PN=PC-NC=（4-t）-（1+t）=3-2t，
∴[ 34（1+t）]2+（3-2t）2=（4-t）2，
解得：t1= 10357，t2=-1（舍去）
∴当t= 23，t= 119，t= 10357时，△PMC为等腰三角形．