讨论函数f(x)=x+1/x的单调性
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法一：定义法
设x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1x2-1)/(x1x2)],
若x1<x2<-1, 则x1-x2<0, x1x2>0,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), ∴ f(x)在(-∞,-1)上是增函数. 同理可证f(x)在(-1,0)∪(0,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数.
法二:导数法
f'(x)=1-(1/x^)=0, 得驻点x1=-1,x2=1, x<-1 时,f'(x)>0, -1<x<0或0<x<1时,f'(x)<0, x>1时,f'(x)>0, ∴ (x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)∪(0,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数.
设x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1x2-1)/(x1x2)],
若x1<x2<-1, 则x1-x2<0, x1x2>0,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), ∴ f(x)在(-∞,-1)上是增函数. 同理可证f(x)在(-1,0)∪(0,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数.
法二:导数法
f'(x)=1-(1/x^)=0, 得驻点x1=-1,x2=1, x<-1 时,f'(x)>0, -1<x<0或0<x<1时,f'(x)<0, x>1时,f'(x)>0, ∴ (x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)∪(0,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数.
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