Question

已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左右焦点,点P在C上,角F1PF2=60度,则|PF1|乘|PF2|

Answer 1

由双曲线方程x^2－y^2＝1，得：c＝√（1＋1）＝√2，∴双曲线的焦点坐标是：
F1（－√2，0）、F2（√2，0）。
令点P的坐标为（m，n）。则：
向量PF1＝（－√2－m，－n）、向量PF2＝（√2－m，－n）。
∴向量PF1·向量PF2＝m^2－2＋n^2，
　｜向量PF1｜＝√［（√2＋m）^2＋n^2］、｜向量PF2｜＝√［（√2－m）^2＋n^2］，
又cos∠F1PF2＝向量PF1·向量PF2/（｜向量PF1｜｜向量PF2｜），
∴cos60°＝（m^2－2＋n^2）/√｛［（√2＋m）^2＋n^2］［（√2－m）^2＋n^2］｝，
∴2（m^2－2＋n^2）＝√｛［（√2＋m）^2＋n^2］［（√2－m）^2＋n^2］｝，
∴4（m^2＋n^2－2）^2＝（m^2＋n^2＋2）^2－（2√2m）^2，
∴8m^2＝［（m^2＋n^2＋2）＋（m^2＋n^2－2）］［（m^2＋n^2＋2）－（m^2＋n^2－2）］，
∴8m^2＝2（m^2＋n^2）×4＝8m^2＋8n^2，
∴n＝0。

∵P（m，n）在双曲线上，∴m^2－n^2＝1，∴当n＝0时，m^2＝1。
∴｜PF1｜｜PF2｜＝√｛［（√2＋m）^2＋n^2］［（√2－m）^2＋n^2］｝
＝√［（m^2＋n^2＋2）^2－（2√2m）^2］＝√［1＋2）^2－8］＝1。
即：｜PF1｜｜PF2｜＝1。

Answer 2

在双曲线中，f1,f2为两个焦点，p在双曲线上，则
s三角形pf1f2=b^2cot角F1PF2/2

所以s三角形pf1f2=1*cot30=根号3

而s三角形pf1f2=1/2*f2f1*(p点纵坐标)=根号3

所以p点纵坐标=根号6/2

代入双曲线C：x^2-y^2=1

所以p点横坐标=根号10/2

代入焦半径公式
可得pf1=根号5+1
pf2=根号5-1

所以pf1*pf2=4