Question

求|x-1|+|x-2|的最小值

一题多解

Answer 1

这里可借助绝对值的几何意义来解释。绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如∣a∣表示数轴上a点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b
两点的距离之和。
对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。
例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。
解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.
例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。
分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。
解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离，∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。
此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。通过分析我们亦不难理解∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b∣。
绝对值的几何意义的运用是一个高超的技巧，这种简捷、巧妙的方法应引起我们的重视。
分析：本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以，-1≤x≤3。此题若采用“零点分段法”将会有较长的计算过程，比较繁琐。
再来看你的问题
。
|x-1|+|x+1|+|x-2|的最小值表示在数轴上找一点x，使该点到三点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到1，1到2（含-1，2及1）当中的任一点。结合数轴不难发现到1这个点的距离为3的时候是最小的
故当x=1是|x-1|+|x+1|+|x-2|取最小值为3

Answer 2

当X大于等于2时
|x-1|+|x-2|=X-1+X-2=2X-3
当X=2时有最小值 为1
当X小于等于1时
|x-1|+|x-2|=1-X+2-X=3-2X
当X等于1时有最小值 为1
当X大于1小于2时
|x-1|+|x-2|=X-1-X+2=1
所以最小值为1

Answer 3

当x大于等于1，小于等于2时，|x-1|+|x-2|有最小值1。

Answer 4

最小值为1。