Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心， AA1=22，C1H⊥平面AA1B1B，且 C1H=5．

（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

Answer 1

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得 A(22，0，0)，B(0，0，0)，C(2，-2，5)A1(22，22，0)，B1(0，22，0)，C1(2，2，5)

（I）解：易得 AC→=(-2，-2，5)，A1B1→=(-22，0，0)，
于是 cos〈AC→，A&1B1→＞=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23，
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．
（II）解：易知 AA1→=(0，22，0)，A1C1→=(-2，-2，5)．
设平面AA1C1的法向量 m→=（x，y，z），
则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5，可得 m→=(5，0，2)，
同样地，设平面A1B1C1的法向量 n→=（x，y，z），
则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5，
可得 n=(0，5，2)．
于是 cos＜m→，n→＞=m→•n→|m→||n→|=27•7=27，
从而 sin＜m→，n→＞=357．
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357．
（III）解：由N为棱B1C1的中点，
得 N(22，322，52)．设M（a，b，0），
则 MN→=(22-a，322-b，52)
由MN⊥平面A1B1C1，得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22，24，0)．
因此 BM→=(22，24，0)，所以线段BM的长为 |BM→|=104．

Answer 2

（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理，．
求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．
（II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角．连接AB1，在△ARB1中，通过余弦定理，求出二面角A-A1C1-B1的正弦值为3√5/7
（III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM交AB于点F，
连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出BM=√10/4

Answer 3

将AC平移到A1C1的位置，所以∠C1A1BI就是所求角 在直角三角形C1A1H中，C1A1=根号21，C1A1=B1A1 最后用余弦定理 就可以了、